martes, 8 de diciembre de 2015

Unidad 5

5.1. RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO. CURVAS ORTOGONALES

Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión.

Sea $\scriptstyle \mathcal{C}$ una curva, y $\scriptstyle A$ un punto regular de esta, es decir un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en $\scriptstyle A$ la curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a $\scriptstyle \mathcal{C}$ en $\scriptstyle A$ es la recta $\scriptstyle T_A$ que pasa por $\scriptstyle A$ y que tiene la misma dirección que $\scriptstyle \mathcal{C}$ alrededor de $\scriptstyle A$ .

La tangente es la posición límite de la recta secante ( $\scriptstyle \overline{AM}$ ) (el segmento $\scriptstyle \overline{AM}$ se llama cuerda de la curva), cuando $\scriptstyle M$ es un punto de $\scriptstyle \mathcal{C}$ que se aproxima indefinidamente al punto $\scriptstyle A$ ( $\scriptstyle M$ se desplaza sucesivamente por $\scriptstyle M_1, M_2, M_3, \dots$

Si $\scriptstyle \mathcal{C}$ representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta $\scriptstyle \overline{AM}$ tendrá como coeficiente director (o pendiente):

$\frac {f(x) - f(a)} {x - a}$

Donde $\scriptstyle (a,f(a))$ son las coordenadas del punto $\scriptstyle A$ y $\scriptstyle (x,f(x))$ las del punto $\scriptstyle M$ . Por lo tanto, la pendiente de la tangente T_Aserá:

$\lim_{x \to a} \frac {f(x) - f(a)} {x - a}$

Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.

La ecuación de la tangente es $\scriptstyle T_A$ :

$y = f'(a)\cdot(x-a) + f(a)$

La recta ortogonal a la tangente $\scriptstyle \overline{AM}$ que pasa por el punto $\scriptstyle (a,f(a))$ se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas ortonormales, es dada por $\frac {-1} {f'(a)}$ . Siendo su ecuación:

$y = -\frac{x-a}{f'(a)} + f(a)$

suponiendo claro está que $\scriptstyle f'(a) \ne 0$ . Si $\scriptstyle f'(a) = 0$ entonces la recta normal es simplemente $\scriptstyle x = a$ . Esta recta no interviene en el.

5.2. TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DE LAGRANGE O TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CALCULO DIFERENCIAL.

La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.

La ecuación de la recta tangente a una función en el punto A( a , f ( a ) ) viene dada por la expresión: y – f ( a ) = f ’ ( a ) [ x – a ]

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

Si en un punto de la gráfica de una función se produce un cambio brusco de dirección ( “un pico” o “punto anguloso”), la función no es derivable en dicho punto.

TEOREMA DE ROLLE

Si f es una función continua en [ a , b ], derivable en ( a , b ) y además f ( a ) = f ( b ), entonces existe al menos un punto c Î ( a , b ) en el que f ’ ( c ) = 0.

2.1 Interpretación geométrica

Si se cumplen las hipótesis del teorema, existe al menos un punto c Î ( a , b ) en el que su recta tangente es paralela al eje de abscisas (es decir, es la recta y = f ( c ) ).

TEOREMA DEL VALOR MEDIO ( TEOREMA DE LAGRANGE)

Si f es una función continua en [ a , b ] y derivable en ( a , b ), entonces existe al menos un punto cÎ(a,b) en el que f ’ (c) = [ f ( b ) – f ( a ) ] / ( b – a ).

3.1 Interpretación geométrica

Si se cumplen las hipótesis del teorema, existe al menos un punto c Î ( a , b ) en el que su recta tangente es paralela al segmento determinado por los puntos A( a , f ( a ) ) y B( b , f ( b ) )

TEOREMA DEL VALOR MEDIO GENERALIZADO (TEOREMA DE CAUCHY)

Si f y g son dos funciones continuas en [ a , b ] y derivables en ( a , b ), entonces existe al menos un punto c Î ( a , b ) en el que se verifica: f ’ ( c ) [ g ( b ) – g ( a ) ] = g ’ ( c ) [ f ( b ) – f ( a ) ].

Es inmediato comprobar que el teorema del valor medio es un caso particular del teorema del valor medio generalizado. Para ello, basta tomar la función g ( x ) = x.

5.3. FUNCIÓN CRECIENTE Y DEPENDIENTE. MÁXIMOS U MÍNIMOS DE FUNCIÓN. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA.

Función creciente y Función decreciente

· Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x₁y x₂, con la condición x₁ £x₂, se verifica que

f( x₁ ) < f( x₂ ).

Se dice estrictamente creciente si de x₁ < x₂ se deduce que f(x₁) < f(x₂).

· Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x₁y x₂, que cumplan x₁ £ x₂, entonces f(x₁ ) ³ f(x₂ ).

Siempre que de x₁< x₂se deduzca f(x₁) > f(x₂), la función se dice estrictamente decreciente.

Máximos y mínimos de una función

Se dice que una función tiene un valor máximo en el punto v, cuando el valor de f(v) es mayor que el valor en cualquiera de los puntos vecinos.

Del mismo modo, cuando el valor es menor que el valor en sus puntos vecinos, entonces ese valor se convierte en el valor mínimo de la función.

Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos

Si se aplica la primera derivada a una función se conoce el comportamiento de ésta, en los puntos donde la derivada es cero (0) habrá un valor extremo, a continuación se muestran algunos ejemplos:

- A partir de la siguiente función encuentre:
a)Los puntos críticos.
b)Valores máximos y mínimos.
c)La gráfica de la función.

f(x)= 4x2 + 5x - 3

a) PUNTOS CRÍTICOS:
- obtener la derivada de la función:
8x + 5
- igualar con cero (0).
f'(x)= 8x + 5 = 0
x = -5/8

b)MÁXIMOS Y MÍNIMOS:

- El punto crítico lo podemos obtener igualando con cero (0) la función derivada y despejando "x".
- El valor de antes y después lo podemos obtener con un número menor (antes) que el punto crítico y un número mayor (después) que el punto crítico.
- La primera derivada la podemos obtener sustituyendo el valor de antes y después en la primera derivada.
- El comportamiento lo podemos deducir de la siguiente manera: Si el número de la primera derivada es positivo "sube", si el número es negativo "baja".
- El resultado lo deducimos de la siguiente manera: Si primero "baja y luego sube" su resultado es Mínimo. Si el comportamiento es "Sube y luego baja" el resultado Máximo.

c)GRÁFICA:
La gráfica la podemos obtener sustituyendo en la función original el punto crítico y asi obteniendo los puntos del mínimo absoluto de la gráfica.

5.4. ANÁLISIS DE LA VARIACIÓN DE FUNCIONES.

En función de variación acotada, también conocido como BV función, es un numero real con valores de función cuya variación total está limitado (finito):

la gráfica de una función con esta propiedad se comporta bien en un sentido preciso.

Para una función continua de una sola variable, por ser de variación acotada significa que la distancia a lo largo de la dirección de la yEjes, dejando de lado la contribución del movimiento a lo largo de x Ejes, que recorre un punto movimiento a lo largo de la gráfica tiene un valor finito.

Para una función continua de varias variables, el significado de la definición es la misma, excepto por el hecho de que la trayectoria continua que se considera que no puede ser todo el gráfico de la función dada (que es un hipersuperficie en este caso), pero puede ser cada intersección de la propia gráfica con un hiperplano (en el caso de funciones de dos variables, una plano) paralelo a un fijo xEjes y al y Ejes.

Funciones de variación acotada son precisamente aquellos respecto de los cuales uno puede encontrar en las integrales de Riemann-Stieltjes todas las funciones continuas.

Otra caracterización de los estados que las funciones de variación acotada tienen es que encuentran que en un intervalo cerrado son exactamente los f que se puede escribir como una diferencia g − h, donde ambos g y h están limitados monótono.

En el caso de varias variables, en función f definido en un subconjunto abierto Q de Rn se dice que la variación acotada si su de distribución de derivados es un recurso finito del vector.

Uno de los aspectos más importantes de las funciones de variación acotada es que forman una álgebra de funciones discontinuas cuya primera derivada existe casi en todas partes:

debido a este hecho, se puede y con frecuencia se utilizan para definir soluciones generalizadas de problemas no lineales implican funcionales, ordinaria y ecuaciones diferenciales parciales en las matemáticas, la física y de ingeniería.

Teniendo en cuenta el problema de la multiplicación de las distribuciones o más en general el problema de la definición general de las operaciones no lineales en funciones generalizadas, función de variación acotada son los más pequeños y en la álgebra tiene que estar integrada en todos los espacios de funciones generalizadas preservar el resultado de multiplicación.

Análisis de la Variación de la Función

Cuando la variación total de cualquier función particular es finita, en ese caso, esa función se conoce como Función de Variación Acotada, que puede ser abreviada como función BV (Bounded Variation por sus siglas en inglés). El gráfico correspondiente de la función BV se dice entonces que se comporta bien en un sentido preciso. La función BV tiene amplias aplicaciones en el campo de las matemáticas, y es utilizada en algunos de los teoremas más importantes, tal como son los Teoremas de Fourier. En el caso de la funciones continuas que contienen sólo una variable, la variación acotada implica la distancia finita cubierta por un punto a lo largo del eje y. Otra clasificación establece que las funciones de variación acotada, tienen la propiedad de intervalo cerrado, son las funciones que se pueden establecer como la diferencia entre dos monótonas acotadas.

La variación Acotada de una función determinada en el intervalo [x, y] puede ser establecida como

Donde S es el conjunto acotado

La variación resulta ser infinita si el conjunto no es acotado. El supremo de S puede ser llamado también como Variación Total o sólo la variación de f y se denota como V (f; x, y) o simplemente V (x).

Existen ciertos teoremas que pueden ser útiles para el análisis de la variación de la función:

1). Si en el conjunto [x, y], la función está incrementando, en ese caso, es la función de variación acotada en el conjunto [x, y] y consecuentemente V [g [x, y]] = g(y) – g(x).

2). Si en el conjunto [x, y] la función es constante, entonces es la función de variación acotada en el conjunto [x, y] y entonces V [g [x, y]] = 0.

Por ejemplo, la función g(r) = c es una función de variación acotada constante en el intervalo [x, y]. | g (ri) – g (ri - 1)| = 0 por cada partición del conjunto [a, b]. Por tanto, V (g, [x, y]) = 0.

3) En el conjunto [x, y] si, g y f son las funciones de variación acotada y c es constante, en ese caso

a). g es una función de variación acotada en el intervalo [x, y].

b). g es una función de variación acotada en cada subintervalo cerrado del intervalo [x, y].

c). cg es también una función BV en el conjunto [x, y].

d). g + f y g –f son BV en el conjunto [x, y]

e). gf es también BV en el conjunto [x, y].°°°°°°°

Algunos datos más útiles acerca de estas funciones especiales se pueden establecer como que una función de variación acotada se puede expresar también por la divergencia de 2 funciones crecientes.

Del mismo modo, todas las funciones totalmente continuas son de naturaleza BV, sin embargo, no es necesario que todas las funciones continuas BV deban ser totalmente continuas.

La función f puede ser considerada como BV en el conjunto [x, y] si, la derivada de f se encuentra acotada en [x, y]. Además, cuando dos funciones variación acotada se multiplican entre sí, entonces la resultante es también una función de variación acotada.

Hay algunas propiedades básicas que son seguidas por las Funciones de Variación Acotada:

1) Las Funciones de Variación Acotada pueden tener discontinuidad de primer tipo, es decir, discontinuidad de salto.

5.5 CALCULO DE APROXIMACIONES USANDO LA DIFERENCIAL

Hasta ahora se ha usado para la derivada de una función y con respecto a x, la notación de Leibnitz, dx/dy, como un símbolo y no como el cociente del símbolo dy (diferencial de a variable y) entre dx (diferencial de la variable x).

Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permite representar la derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto.

La definición esta motivada por el siguiente razonamiento geométrico.

Sea P(x0, y0) un punto fijo sobre la gráfica de y = f (x) (fig. (a)).

Tomando el punto P(x0, y0) como origen, se introduce un nuevo sistema de coordenadas

cuyos ejes dx y dy son paralelos a los ejes antiguos.

En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por el origen

y en consecuencia, su ecuación es bastante simple, a saber: dy = mdx, donde m es la

pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la misma que la del antíguo,

esto es m = f ’(x), se tiene entonces:

dy = f ’(x) dx

Lo anterior nos permite dar la definición formal de las diferencial.

Definición:

i. Se llama diferencial de la variable independiente x, denotada por dx, al

incremento ∆ x ; esto es dx = ∆ x .

ii. Si y = f (x) es una función derivable de x, la diferencial de y en el punto x,

denotada dy, se define como dy = f ' ( x ) ∆ x , o también,

dy = f ' ( x ) dx . Interpretación geométrica de la diferencial

Sea f una función derivable en x. En el triángulo P0RQ, se tiene: RQ = m.∆x ,

en donde m es la pendiente de la recta tangente a la curva en P0 (fig. (b)), y por tanto,

m = f ’(x0).

Así que: RQ = f ' ( x )∆ x = dy

Además, ( ) ( ) 0 0

∆ y = f x + ∆ x − f x (2)

Se puede observar entonces que:

∆ y : es el incremento en y medido sobre la curva; y,

dy : es el incremento en y medido sobre la recta tangente

Observaciones:

i. Si la ecuación y = f (x) corresponde a una línea recta, entonces dy = ∆ y para cualquier x del dominio.

ii. Puesto que dy = f ' ( x ) dx , si dx ≠ 0 , entonces al dividir ambos

miembros de la última igualdad por dx, se tiene: f ' (x)

= y se puede de esta forma interpretar la derivada de una función como el cociente de dos diferenciales.

iii. De acuerdo con la observación ii. todas las reglas de diferenciales se deducen de

las reglas de derivación (R.D.1.- R.D.16., sección ), multiplicando ambos

miembros de estas últimas por dx.

En la tabla siguiente aparecen las principales reglas de diferenciales deducidas de las

correspondientes reglas de derivación.

5.6 Problemas de optimización y problemas de tasas relacionadas

La optimización se refiere al tipo de problema que se ocupa de la determinación de la forma más apropiada para realizar cierta tarea. Con el fin de resolver estos problemas, se calculan los valores mínimos y máximos de la función. Estos incluyen encontrar la distancia mínima para llegar a un punto, el costo mínimo para hacer determinada operación, etc. La función cuyo máximo o mínimo necesita determinase por lo general está sujeta a ciertas restricciones que deben tomarse en cuenta.

Estos problemas son diferentes a los problemas utilizados para encontrar los valores mínimos o máximos locales. Los Problemas de optimización sólo se ocupan de los valores máximos o mínimos que una función puede tomar y no del mínimo o máximo en un intervalo. Es decir, la optimización busca el mínimo o máximo global (absoluto) y no el local. El mínimo o máximo absoluto es el mayor entre el mínimo o máximo local, respectivamente.

Puede haber casos, donde el mínimo o máximo global no existe para una función. En estos el dibujo de la gráfica para la función correspondiente puede ayudar en gran manera.

miércoles, 2 de diciembre de 2015

Unidad 3 & 4

Unidad 3

3.1 Limite de una sucesión

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.

La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.

El límite de una sucesión particular es generalmente un número o un punto definido L, con la condición que todos los términos de esa sucesión particular estén muy cerca de L para grandes cifras de n. En caso de que el límite esté presente, se dice entonces que la sucesión es convergente y converge en el punto definido L. En el caso complementario, se dice que la sucesión es divergente. Matemáticamente la definición puede ser demostrada suponiendo an} sea la sucesión y l un número real. Si por cada ε › 0 entonces encontramos m N, tal que, n N, es l y se escribe an=l. Esto se lee como: Como n tiende al infinito, tiende a l.

Además, si para una sucesión an se podemos encontrar un numero M positivo, tal que, | an | M n N entonces la sucesión { an } se dice que es cerrada.

Similarmente, las sucesiones pueden estar creciendo o decreciendo.

Algunas de las propiedades generales de los Límites de una Sucesión incluyen:

1).Los Límites de las sucesiones de origen convergentes son únicos.

2). Una sucesión de origen convergente es siempre cerrada y viceversa.

3). En el caso de las sucesiones {an} n 1, junto con {bn} n 1 son de origen convergente y x e y son números reales, en ese caso, la sucesión { xan + ybn }n 1 es también convergente.

4). Similarmente, si las sucesiones {an} n 1 junto con {bn} n 1 son de origen convergente y x e y son números reales, en ese caso, la sucesión { xan . ybn }n 1 es también convergente. Obtenemos,

5). En el caso de la sucesión {an}, n 1 tiene un origen convergente con la condición que an 0 y an 0 para n 1, entonces la secuencia del tipo es también convergente.

Los límites de las sucesiones estándares pueden ser útiles para facilitar el cálculo. Algunos de estos son:

1). = 0

2). = 0 | r | < 1.

3). = 0 donde sn = a + ar + ar2 + …..+

Este límite es conocido como serie infinita geométrica con el primer término “a” y la razón común “r”. Para captar efectivamente el concepto de las propiedades y las características de los límites de sucesiones, observemos un ejemplo en el que se requiere demostrar que para un número x, donde 0 <x <1 xn = 0

Dado que 0 < x < 1, por tanto la sucesión xn es cerrada y decreciente. De acuerdo a la segunda propiedad citada arriba, esta es convergente. Entonces, xn = L

3.2 Limite De Una Función De Variable Real

El límite de una función de variable real es un concepto importante en el cálculo. Según este, si F es la función de una variable real r, en ese caso, el límite de F como r se aproxima a x existe, si existe otro número real R entonces para un número positivo conocido

, existe otro número delta, tal que | F® - N | ‹ para todo r que satisfaga | r - x | < . Esto es,

 y   son letras de Grecia utilizadas tradicionalmente, a las cuales se les llama como descripción de límites épsilon-delta.

Puede ser el caso cuando la función F satisface \ limita_{r\a\x} la definición en una sola dirección en la recta numérica real. Suponga que satisface la existencia de límites desde la izquierda. En ese caso, puede ser representada como

Este caso puede ser leído como ‘la existencia de límites del lado izquierdo’. Del mismo modo, los límites del lado derecho pueden ser demostrados como

Sin embargo, no se puede decir que el límite existe enteramente hasta que ambos límites de lado izquierdo y derecho persistan y se conviertan iguales.

Se le llama función real de variable real a toda la función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:

f:D————->R

x————->x2.

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:

1. El conjunto inicial o dominio de la función.

2. El conjunto final o imagen de la función.

3. La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.

Así, por ejemplo, la función definida por:

f:R ——–>R

x———>x2.

Asigna a cada número real su cuadrado.

Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real. Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo:

lim(f)=R+.

La regla de asignación es: “Dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la imagen”. El límite de una función de variable real es un concepto importante en el cálculo. Según este, si F es la función de una variable real r, en ese caso, el límite de F como r se aproxima a x existe, si existe otro número real R entonces para un número positivo conocido Descripción: http://mitecnologico.com/igestion/uploads/Main/cal12.jpg , existe otro número delta, tal que | F® - N | ‹ para todo r que satisfaga | r - x | < . Esto es,

y son letras de Grecia utilizadas tradicionalmente, a las cuales se les llama como descripción de límites épsilon-delta. Puede ser el caso cuando la función F satisface \ limita_{r\a\x} la definición en una sola dirección en la recta numérica real. Suponga que satisface la existencia de límites desde la izquierda. En ese caso, puede ser representada como este caso puede ser leído como ‘la existencia de límites del lado izquierdo’. Del mismo modo, los límites del lado derecho pueden ser demostrados como

Sin embargo, no se puede decir que el límite existe enteramente hasta que ambos límites de lado izquierdo y derecho persistan y se conviertan iguales.

Mientras se resuelve un problema “ límite de una función de variable real “ se debe hacer énfasis principalmente en el cálculo del rango del límite y no en identificar si el límite existe o no.

El límite de una función de variable real se puede definir en el infinito si la recta numérica es considerada extensible. Si F® es la función, entonces, el límite infinito de F se puede representar como que existen algunas propiedades que valen la pena considerar mientras se trata con el concepto de límite de la función de variable real F:

1). El límite de F se dice que existe cuando los límites del lado derecho y del lado izquierdo existen para la función correspondiente.

2). Se dice que F es continua en un punto particular A solo si en el caso el límite F( r ) como r se mueve hacia A subsiste y es equivalente a f(A).

3). Si el límite de la función F® como r se mueve hacia A es L1 y el límite de otra función H® como r se mueve hacia A es L2, entonces, el límite de F® + H® como se mueve hacia A es L1 + L2.

4). El límite de F debe ser compatible con las operaciones aritméticas con la condicionante que el límite del lado derecho exista.

La definición y sus propiedades pueden ser más profundamente ilustradas con la ayuda de un ejemplo. Consideremos una función

F® = La función puede ser simplificada como:

F® = (r + 2) (r - 2)

(r – 2)

F® = r + 2, r 2

Es decir la línea r + 2 con el punto ( 2, 4 ) son los puntos faltantes.

Se puede observar que r = 2 no se encuentra en el dominio de F y 4 no está en el rango correspondiente. Por lo cual, al poner r cerca del 2, obligará a F hasta el punto (2, 4). Esto es, de acuerdo a la definición, si un número real es dado, entonces se necesita encontrar otro número , tal que, < . Entonces, este puede ser probado como:

Si |r −2| <

2+ < r < 2 -

2 - + 2< r + 2 < 2 + + 2

4 - < r + 2 < 4 +

|(r + 2) - 4| <

3.3 Cálculo de limites

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto ha, entonces se suele cumplir que:

Es decir: Para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular límite

porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.

Todos nosotros hemos leído en las matemáticas básicas que si el valor del denominador es cero, entonces obtendremos un valor indefinido como producto. Pero en el caso del cálculo, podemos obtener una solución aunque el valor del denominador sea cero.

Para entender el concepto, mire el ejemplo dado a continuación, f(x) = x3/ x

Si lo resolvemos tenemos f(x) = x2 como respuesta. El gráfico de esta función es una parábola, como se muestra debajo, ahora bien, si x alcanza el valor de cero en algún punto entonces tenemos una salida indefinida.Utilizando el cálculo obtenemos el valor de la ecuación para un valor algo más grande y para un valor algo menor que cero. Este es el concepto detrás de los límites.

El concepto de límite es que al llegar más y más cerca de un valor específico de x, el valor de la función también comienza a resolverse en torno a un valor específico. De este modo podemos calcular el valor de la función para algunos valores que están muy cerca de cero.

Esto proporcionará un resultado de valor aproximado para la función dada y por tanto no obtendremos un valor indefinido como valor de salida de la función. Para el ejemplo ilustrado arriba tendríamos cero como salida si el valor del denominador es casi igual a cero. Esto es debido a que el valor de salida de la función se aproxima al valor de cero a medida que el valor de entrada de la función llega a cero. Se puede observar claramente en el gráfico de la función.

Sin embargo no siempre es el caso que tanto el valor de entrada como el valor salida de la función alcancen el mismo valor. El cálculo ayuda en la determinación de la salida de una función no habiéndose dado un valor indeterminado de la función como salida. Esto hace el concepto de límite distinto de simple álgebra.

No es esencial que el valor de la función sea indefinido solamente para cero. Funciones diferentes tienen valores de entrada diferentes para los cuales la función es indefinida. Por lo tanto el límite puede ser leído “se define límite como la entrada tiende a una variable que hace la función salida indefinida”.

Existen otras propiedades importantes también que sin embargo no podemos abordar aquí.

Veamos ahora un ejemplo:

limx2 (3×2 – 4x + 5)

= limx2 (3×2) - limx2 (4x) + limx2 (5)

= 3limx2 (x2) - 4limx2 (x) + limx2 (5)

= 3(2)2- 4(2) + 5

= 12 – 8 + 5

= 9

3.4 Propiedades de los limites

3.5 Limites laterales

$\lim_{x \to c^+}f(x) = L^+$ De manera similar, x puede aproximarse a c tomando valores más grandes que éste (derecha): O tomando valores más pequeños (izquierda), en cuyo caso los límites pueden ser escritos como:

$\lim_{x \to c^-}f(x) = L^-$

Si los dos límites anteriores son iguales:

$\lim_{x \to c^-}f(x) = \lim_{x \to c^+}f(x) = L$

Entonces L se pueden referir como el límite de f(x) en c. Dicho de otro modo, si estos no son iguales a L entonces el límite, como tal, no existe.

Límites laterales El límite cuando: x → x0+ ≠ x → x0-. Por lo tanto, el límite cuando x → x0 no existe. De manera similar, x puede aproximarse a c tomando valores más grandes que éste (derecha): o tomando valores más pequeños (izquierda), en cuyo caso los límites pueden ser escritos como: Si los dos límites anteriores son iguales: entonces L se pueden referir como el límite de f(x) en c. Dicho de otro modo, si estos no son iguales a L entonces el límite, como tal, no existe.

El límte lateral por la derecha de una función y = f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores mayores que a .

El límite lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores menores que a .

3.6 Limites infinitos y limites al infinito

Infinito, la palabra aparece regularmente en los conceptos Matemáticos, esta es básicamente sólo una idea y no un número. Una cantidad extremadamente grande la cual no está definida puede ser considerada como infinito. Cuando se calcula el límite de una fracción, en la que el numerador se acerca a una cantidad positiva o negativa, si el denominador se mueve hacia 0, entonces en ese caso se dice que el límite es inexistente. Con el fin de explicar el comportamiento de tales funciones, decimos que

Esto indica que el límite de F® es un número desconocido de gran tamaño. Este tipo de límites es conocido como Límite Infinito. Los límites infinitos significan básicamente que el límite es imaginario, es decir, el valor de la función se puede hacer tan grande como queramos tomando los valores de r suficientemente cerca de 0.

Por ejemplo: una función x = 3y tiene límites infinitos. A medida que y aumenta, 3y también aumenta y cuando y se acerca al infinito, el límite de 3y se vuelve infinito.

Además la definición de límite infinito puede ser girada para un límite de un solo lado. El grafico correspondiente de la función g(x) =

que también posee límites infinitos puede ser dibujada como:

Si una variable independiente x está creciendo indefinidamente através de valores positivos se escribe

y si decrece a través de valores negativos se denota como

Similarmente cuando una función f(x) crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, es escribe ƒ(x)→ + ∞ y si decrece tomando valores negativos se escribe ƒ(x)→ - ∞. Infinito, la palabra aparece regularmente en los conceptos Matemáticos, esta es básicamente sólo una idea y no un número. Una cantidad extremadamente grande la cual no está definida puede ser considerada como infinito. Cuando se calcula el límite de una fracción, en la que el numerador se acerca a una cantidad positiva o negativa, si el denominador se mueve hacia 0, entonces en ese caso se dice que el límite es inexistente. Con el fin de explicar el comportamiento de tales funciones, decimos que

Por ejemplo: una función x = 3y tiene límites infinitos. A medida que y aumenta, 3y también aumenta y cuando y se acerca al infinito, el límite de 3y se vuelve infinito.

Además la definición de límite infinito puede ser girada para un límite de un solo lado. El grafico correspondiente de la función g(x) =

que también posee límites infinitos puede ser dibujada como:

x −1 −0.1 −0.01 −0.001 0 g(x) 1 100 10,000 1,000,000 indefinido

Un concepto casi similar es el de “limites al infinito”. En este cuando la función de una variable y aumenta ilimitadamente entonces esta es mostrada como

De manera similar, cuando y cae de manera ilimitada, entonces esta es mostrada como

El concepto principal de límites al infinito yace en dos puntos.

1). Cuando k es un número no negativo, entonces

2). Cuando k es un número no negativo, entonces

Encontrar el límite de un número racional al infinito es un caso especial en este concepto. Una regla sencilla para determinar el límite al infinito de tales números es considerando la variable, tanto en el numerador y en el denominador, que tenga el mayor exponente. Ahora bien, los límites pueden ser evaluados en base a las siguientes reglas:

1). Si el numerador con el más alto exponente va junto al denominador con el más alto exponente, en ese caso, el limite al infinito y el infinito negativo es la proporción de ambos coeficientes de mayor término.

2). Al dividir el numerador con el denominador, si el exponente resultante en la variable queda igual, en ese caso, el límite al infinito y el infinito negativo son infinitos. Si resulta impar, en ese caso, el límite al infinito es infinito y el infinito negativo es infinito negativo. Sin embargo, en ambas condiciones, el numerador debe tener el término más alto.

3). En la fracción impropia, es decir, en la cual el denominador contiene el término más alto, el límite al infinito y el infinito negativo es 0.

Los límites infinitos siguen unas propiedades importantes al infinito, las cuales son:

1.-

En caso, que r sea grande, entonces el recíproco de r será extremadamente pequeño y en el caso que r aumente rápidamente, entonces

Disminuirá en una proporción igual y eventualmente llegará cerca de 0.

2.-. Del mismo modo, si r se convierte grandemente negativo,

se convertirá menos negativo y también se aproximará más a 0.

3.- Además, un ejemplo similar ocurre cuando r es elevado a algún exponente, es decir,

3.7 Asintotas




Una línea recta que se aproxima continuamente a otra función o curva, que la distancia entre las 2 tiende a 0 a medida que se extiende indefinidamente.





También se puede decir que es la curva la que se aproxima a la recta, o que en ambas presentan un comportamiento asintótico.


                   







Asíntota Vertical (AV)





La recta x=a es asíntota vertical de f(x) si limx->a+
f(x) = inf o limx->a- f(x) = inf.


                          







Asíntota Horizontal (AH)





La recta y=b es asíntota horizontal de f(x) si limx->inf
f(x) = b.




                        






Un ejemplo que podemos tener es: 





f(x) = x/(x-1)limx->1+ f(x) = +inf





limx->1- f(x) = -inf=> x=1 es AV de f(x)





limx->inf f(x) = 1





=> y=1 es AH de f(x)




                        














3.8 Funciones Continuas Y Discontinuas En Un Punto Y En Un Intervalo

 







Una función continua es aquella que responde a lasvariacionesde cadaminuto en la entrada de la función por lo que muestra variación en la salida de la función.

Una definición formal de una función continua es “Una función f: X → Y se dice que es continua, si la imagen inversa de todos los conjuntos abiertos en el rango de la función sonabiertos en el dominio de la función”.

Para que una función continua sea continua en un punto P específico, debe cumplir tres condiciones:

1. El punto s debe estar en el dominio de la función, en otras palabras la función f(s) debe tener un valor definido.

2. Para un punto a en el dominio de la función,




 debe mantenerse verdadero en el dominio de la función dada 

3. La ecuación debe mantenerse verdadera para la función ylos puntos dados.

Observe un ejemplo a continuación

g(x) = x2 – 9/x – 3


3.9 Tipos de discontinuidades





                                                   








Discontinuidad evitable















Si una función tiene límite en un punto, pero la función en
ese punto tiene un valor distinto:








               








o no existe:







              














se dice que la discontinuidad es evitable, asignando a la función,
en ese punto, el valor del límite:













               








Discontinuidad esencial o no evitable











Se dice que una función presenta una discontinuidad
esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:








Existen los límites laterales pero no coinciden. Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos. No existe alguno de los límites laterales o ambos.Discontinuidad de primera especie








En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:





DE SALTO FINITO








Existen el límite por la derecha y por la izquierda del
punto, su valor es finito, pero no son iguales:









               







como en el caso de que el límite por la izquierda sea infinito y por la derecha finito:













              






Se dice que la discontinuidad es de salto infinito.






DISCONTINUIDAD ASINTÓTICA




Si los dos límites laterales de la función en el punto x= a



son infinitos:




              






A este tipo de discontinuidad de primera especie se le
llama discontinuidad asintótica, siendo x= a la asíntota.




Discontinuidad de segunda especie. Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los límites laterales de la función en ese punto,



se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese

punto.

UNIDAD 2

4.1 Conceptos De Incremento Y De Razón De Cambio La Derivada De Una Función

La derivada de una función es un vector que apunta hacia la dirección donde la función ve un mayor incremento en su valor.

A la luz de la afirmación anterior se puede concluir que la derivada de la función es generalmente cero en algunos mínimos locales o máximos locales dado que en esa posición la función no nota incrementos hacia una dirección en particular.

En algunos lugares la palabra gradiente también se usa para denotar la derivada de la función.

Sin embargo, esta palabra es más apropiada para la derivada de la función de un vector o para una función con múltiples variables.

El símbolo griego delta, representado como un triángulo es utilizado para mostrar el cambio en el valor de una variable. y significaría un cambio en el valor de y.

La pendiente de una línea recta se puede calcular como

La expresión anterior se denomina como cociente de la diferencia. Esto se debe a que representa la diferencia entre dos cocientes.

La tasa o razón de cambio puede ser constante o no. Una tasa de cambio constante es aquella que no cambia durante un período de tiempo.

Supongamos que la tasa de cambio del número de migrantes de los años 1978 a 1988 es 2.16 mientras que es de 6.9 desde el año 1988 a 2008.

Así podemos notar que en el ejemplo anterior la tasa de cambio no es constante. En tal situación se puede calcular una tasa de cambio promedio en un intervalo.

Una fórmula general para representar una tasa de cambio promedio en un intervalo sería,

INCREMENTO:

Cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con hallar la diferencia entre el valor final y el inicial. Para denotar esta diferencia se utiliza el símbolo ∆x, que se lee "delta x". El incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable aumenta o disminuye al pasar de un valor a otro. Por ejemplo, si el valor inicial de una variable x, x1, es igual a 3, y el valor final x2 es igual a 7, el incremento ∆x = x2 - x1 = 7 - 3 = 4: la variable se ha incrementado positivamente en 4 unidades. En cambio, si el valor inicial es 7 y el valor final 3, ∆x = x2 - x1 = 3 - 7 = -4: la variable ha tenido un incremento negativo (decremento) de 4 unidades.

RAZON DE CAMBIO:

Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo

El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)
La cantidad de dinero en una cuenta en un banco
El volumen de un globo mientras se infla
La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje

El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+∆t, es el incremento

La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio ∆Q en Q con respecto del cambio ∆t en t, por lo que es el cociente

Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando ∆t→0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es

Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada. La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.

También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así:

¨Q¨ es creciente en el instante t si

¨Q¨ es decreciente en el instante t si

La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+∆x] es el cociente.

La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando ∆x→0, de la razón de cambio promedio. Así, la razón de cambio instantánea de y con respecto de x es

Interpretación geométrica de la derivada cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β. La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

mt = f'(a)

Dada la parábola f(x) = x2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación y = x,

por tanto su pendiente es m = 1.

Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:

f'(a) = 1.

Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

4.2 Interpretación Geométrica De La Derivada

Además de evaluar el valor de una función en cierto punto, también es esencial que evaluemos la variación en el valor de la función a medida que la entrada de la función varía. Esto se conoce como la pendiente de la recta en el caso de una recta lineal. Mientras que para una recta curva, la pendiente de la recta varía en cada punto.

Esto significa que para una línea recta / función lineal se obtiene un número constante como su pendiente. Mientras que para una recta curva la pendiente es una función del valor de entrada de la función.

La noción de derivada puede explicarse de dos maneras, una como la pendiente de la curva, que es la representación geométrica, y la otra como la tasa de variación, que es la representación física. La pendiente de la tangente de la curva extrae la derivada de la función geométrica.

Supongamos que una función f(x) = x2. La gráfica de la función luciría de la siguiente forma

La curva de color azul representa el gráfico de la función. Tome dos puntos en el eje x, supongamos x y x0 como en el gráfico de arriba. Determine el valor de la función en esos valores de x. Ahora trace una línea que pase por esos puntos sobre la curva de la función para obtener una línea recta. La línea roja en el gráfico anterior representa esa línea.

A medida que muevo los puntos sobre el eje x más cerca uno del otro conseguimos una recta menos pronunciada que pasa a través de la curva de la función. En el instante que x = x0, la gráfica se vería así,

En tal situación, la recta tocaría el grafico en un solo punto y por tanto tendría la misma pendiente que la pendiente de la gráfica en ese punto. Esta recta se conoce como la tangente de la función en ese punto.

Determinar la pendiente de la tangente en ese punto te extraerá la derivada de la función en ese punto.

 La pendiente de la recta que posee los puntos(x, f(x)) y (x0, f(x0))  será,

Aquí el valor de x no debe ser igual a x0. Mientras que la pendiente de la tangente, lo que es igual, la derivada de la función, donde tenemos que x = x0 es,

Los valores de m y m(x) son casi iguales cuando los puntos x y x0 están muy cerca uno del otro.

Vale la pena saber que en ciertos lugares es mucho más fácil calcular el límite cuando el valor de la variable es casi igual a cero. Podemos hacerlo mediante la traslación a lo largo del eje x. En efecto, estableciendo el valor de h cuando x – x0 obtenemos,

Siempre existen regiones cerca del punto de tangencia donde la curva y la recta tangente pueden simplemente compartir este punto en común.

Siempre existen regiones cerca del punto de tangencia donde la recta de tangencia deja la curva en una mitad donde se separa del plano.

Sin embargo, la pendiente de la tangente o la derivada de la función es simplemente una estimación lineal de la curva en un punto.

4.3 Concepto De Diferencial, interpretación geométrica de las diferenciales

Concepto De Diferencial

En cálculo, la diferencial representa un cambio en la linealización de una función.

En los enfoques tradicionales para el cálculo, las diferenciales (Por ejemplo, dx, dy, dt etc ..) se interpretan como infinitesimales. A pesar de los infinitesimales son difíciles de dar una definición precisa, hay varias maneras de hacer sentido de ellos rigurosamente.

La diferencial es otro nombre para el Matriz Jacobiana de derivadas parciales de una función de Rn a Rm (Especialmente cuando este matriz es visto como un lineal).

De manera más general, el diferencial o pushforward se refiere a la derivada de un mapa entre variedades diferenciables y las operaciones pushforward lo define. La diferencia también se utiliza para definir el concepto dual de retroceso.

Cálculo estocástico proporciona una noción de diferencial estocástica y un cálculo correspondientes para procesos estocásticos.

El integrador en un Integral de Stieltjes se representa como el diferencial de una función. Formalmente, la diferencia de que aparecen en la integral se comporta exactamente como un diferencial: así, la integración por sustitución y integración por partes fórmulas para la integral de Stieltjes corresponden, respectivamente, a la regla de la cadena y producto de la regla de la diferencia.

Interpretación geométrica de las diferenciales

La forma en que hemos abordado el concepto de derivada, aunque existen varios conceptos, fue el encontrar la relación de la pendiente de la línea recta y´ =f ´(x) que era tangente a la función. Para un punto en particular podemos llegar a la definición de la derivada f ‘(x) y vimos que f ‘(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1.

El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.

Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial.

Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento $\Delta x \,$ que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.

Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la formulas matemáticas están definidos respectivamente por $x \,$ y $\Delta x \,$ .

4.4 Propiedades De La Derivada

Las derivadas forman una parte importante del cálculo.

Hablando en términos sencillos, la derivada es una medida de la tasa de variación de la salida de una función así como varía la entrada de la función.

En base a la definición anterior está claro que la salida de la función es una función de la entrada de la función.

Las derivadas tienen algunas propiedades especiales que son importantes estudiar antes de saltar de lleno en el tema.

Puesto que estas propiedades resuelven los problemas de una manera mejor y más conveniente, con un mejor enfoque hacia el tema.

Algunas de las propiedades más importantes son las siguientes:

1. Si la función f(x): X → Y es diferenciable en un punto P, entonces se puede concluir que la función f(x) es continua en el punto p.

2. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones tomadas individualmente. La misma regla aplica también para la resta de dos derivadas. Esta regla es más conocida por el nombre de la regla de la linealidad.

3. La derivada de la multiplicación de una cantidad escalar con una función es igual a cuando la cantidad escalar se multiplica a la derivada de la misma función.

4. La derivada de un número constante es siempre igual a cero.

5. La diferenciación de una variable con respecto a si misma producirá uno.

6. La derivada de la multiplicación de dos funciones es lo mismo que sumar la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función. Esta regla se conoce más comúnmente con el nombre de la regla del producto.

7. La derivada de una variable elevada a una potencia es igual a las veces de la potencia de la derivada de la misma variable elevada a una potencia reducida por uno. Esta regla es mejor conocida por el nombre de la regla de la potencia. Es esencial que n sea un número real para que la propiedad anterior sea cierta.

8. La derivada de la división de una función con alguna otra función es lo mismo que la división de la resta de la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función con el cuadrado de la segunda función. Aquí el valor de la función no debería ser igual a cero. Esta regla se conoce por el nombre de la regla del cociente.

9. La regla de la cadena es una propiedad bastante compleja y se utiliza para funciones compuestas; es decir una función que es impuesta sobre cualquier otra función. De dos funciones diferenciables g(x) y f(x) que haya en una función compuesta h(x) se define como,

h(x) = g(f(x)) = (g 0 f)(x)

Para la función anterior h(x) la derivada puede ser calculada usando la regla de la cadena de la siguiente forma,

La Regla de la cadena sólo puede ser usada cuando existen dependencias en cadena en una función, en otras palabras, para funciones compuestas. Observe un ejemplo resuelto con la regla de la potencia,

d(5x⁴)/dx = 5[d(x⁴)/dx]

= 5(4x⁴−1)

= 5(4x³)

= 204x³

4.5 Regla de la cadena

Una función compuesta es una función que implica la imposición de una función a otra función. Sea f(x) una función que es diferenciable sea g(x) cualquier otra función que también es diferenciable.

Entonces, al imponer f(x) a g(x) se produce una nueva función h(x), la cual es una combinación de las dos funciones diferenciables.

h(x) = f(x) 0 g(x)

Considere una función, para la cual debe encontrar la derivada, y(x) = (x² + 4x +5)

Sería bastante fácil de encontrar.

Pero si fuese encontrar la derivada de una función como la siguiente, y(x) = (x³ + 4x +5)⁶⁰ entonces sería un problema, a pesar de que sus derivadas pueden ser despejadas, pero si existiera una regla que hiciera el problema fácil de resolver entonces habría sido mucho más simple.

Para resolver este problema de encontrar las derivadas de una función compuesta, Leibniz introdujo la regla de la cadena, que tenía la intención de encontrar la derivada de funciones compuestas.

De acuerdo con la regla de la cadena, las derivadas pueden ser consideradas como fracciones a fin de resolver el problema como,

Así que la regla de la cadena para la diferenciación de una función compuesta es la siguiente,

Vamos a tratar primero de resolver el ejemplo que se ilustra arriba sin la regla de la cadena y después utilizando la regla de la cadena para entender la diferencia entre ambos métodos.

d (x² + 4x +5)² / dx

= d(x⁴+ 8x³² + 26x² + 40x +25) /dx

= 4x³ + 24 x² + 52x + 40

La solución anterior fue realizada sin utilizar la regla de la cadena.

Ahora intentemos solucionarla con la regla de la cadena,

d(x² + 4x +5)²/ dx

= 2(x² + 4x +5) * (2x + 4)

= 4x³ + 24 x² + 52x + 40

Como se puede observar se obtiene la misma respuesta, pero requiere un esfuerzo mucho menor debido a la reducción del cálculo envuelto en el enfoque convencional.

Una función valorada real que tiene sólo una variable es la forma más fácil de la regla de la cadena, la cual establece que f(x) es una función que puede ser diferenciada en un punto a y sea g(x) cualquier otra función que puede ser diferenciada a f(a).

Bajo esta situación de f(x) 0 g(x) es una función compuesta que puede ser diferenciada en a.

En los lugares donde las derivadas se calculan directamente, es decir, donde no existe una fórmula directa para el cálculo de derivadas, la regla de la cadena se puede aplicar con el propósito de hacer un cálculo fácil.

La regla de la cadena puede aplicarse convenientemente a una función compuesta donde muchas funciones se imponen sobre otras.

Supongamos que f(x), g(x) y h(x) son tres funciones diferenciables y una función compuesta a partir de ellas es F(x) = f(x) 0 g(x) 0 h(x) tomadas en el mismo el orden.

En tal situación, la regla de la cadena se puede aplicar primero calculando las derivadas de f(x) y g (x) 0 h (x) y luego para g(x) y h(x) y, por último, se combinan los resultados. Esto se denomina cascada de la regla de la cadena para funciones compuestas con múltiples funciones.

Algunas de las otras reglas, que se utilizan de forma independiente para los propósitos de cálculo, son en realidad procedentes de la regla de la cadena; entre ellas una notable es la regla exponencial.

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

Descripción de la regla:En términos intuitivos, cola si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

Descripción algebraica:En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si

f\,

es diferenciable en

x\,

g\,

es una función diferenciable en

f(x)\,

, entonces la función compuesta

(g \circ f)(x) = g(f(x))

es diferenciable en

x\,

(g \circ f)'(x) = \frac {d(g \circ f)} {dx} = \frac {d \; g(f(x))} {dx} = \frac {d} {dx} \; g(f(x)) = g'(f(x))\cdot f'(x)

Notación de Leibniz:

Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:

\frac {dg}{dx} = \frac {dg} {df} \frac {df}{dx}

donde

\frac {dg} {df}

indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.

Demostración de la regla de la cadena

h\left(x\right) = \left(f \circ g\right)\left(x\right).

Esto es entonces

h\left(x\right) = f\left(g\left(x\right)\right).

Aplicando la definición de derivada se tiene

\frac {\text{d}h}{\text{d}x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}.

Donde queda

= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x}.

Equivalentemente, multiplicando y dividiendo entre

g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)

(esta demostración solo vale cuando

g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)

es distinto de cero , por ejemplo si g(x) fuera constante no se cumple)

= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x} \cdot \frac{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)}{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)}.

= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)} \cdot \frac{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)}{\Delta x}.

= \frac{\text{d}f}{\text{d}g}\cdot\frac{\text{d}g}{\text{d}x}.

cqd

Ejemplos de aplicación
Ejemplo conceptual

Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.
Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.

Ejemplo algebraico:

Por ejemplo si

y = f (u)

es una función derivable de

u

y si además

u=g(x)

es una función derivable de

x

entonces

y=f(g(x))

es una función derivable con:

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

o también

\frac{d}{dx} [f(g(x))]=f '(g(x))\cdot g'(x)

Ejemplo 1

y = \ln {u} \,

y queremos calcular:

u = \cos {x} \,

\frac{dy}{dx} \,

Por un lado tenemos:

\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} \,

\frac{du}{dx} = - \sin{x} \,

si:

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

entonces:

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot (- \sin{x}) = \frac{- \sin{x}}{u} = \frac{- \sin{x}}{\cos {x}} = -\tan{x}

Si definimos como función de función:

y = \ln {u} \,

u = \cos {x} \,

resulta que:

y = \ln ({\cos {x}}) \,

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos{x}} \cdot (-\sin{x}) = \frac{-\sin{x}}{\cos{x}} = -\tan{x}

con el mismo resultado.

Ejemplo 2

Tenemos

f(x)=9\sin^{16}\left(\frac{x^2 - 6x + 9}{x + 8}\right)

la cual se puede definir como función compuesta. Si desglosamos la función compuesta quedaría:

y = 9a; a=b^{16}; b=\sin c; c=\frac{x^2 - 6x + 9}{x + 8}

, cuyas derivadas serían:

y' = 9; a' = 16b^{15}; b'=\cos c; c'=\frac{x^2 + 16x - 57}{x^2 + 16x + 64}

Con la regla de la cadena, esto sería:

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{da}\cdot\frac{da}{db}\cdot\frac{db}{dc}\cdot\frac{dc}{dx}

Los cuales corresponden a las derivadas anteriormente extraídas.

\frac{dy}{dx}=y'\cdot a'\cdot b'\cdot c'

\frac{dy}{dx}=9\cdot 16b^{15}\cdot \cos c\cdot \frac{x^2 + 16x - 57}{x^2 + 16x + 64}

Se reemplazan las letras b y c por sus valores NO derivados, no confundir.

\frac{dy}{dx}=9\cdot 16\sin^{15}c \cdot \cos c\cdot \frac{x^2 + 16x - 57}{x^2 + 16x + 64}

Y luego se obtiene la derivada.

\frac{dy}{dx}=9\cdot 16\sin^{15} \frac{x^2 - 6x + 9}{x + 8} \cdot \cos \frac{x^2 - 6x + 9}{x + 8}\cdot \frac{x^2 + 16x - 57}{x^2 + 16x + 64}

Derivadas de orden superior:

Las fórmulas de Faà di Bruno generalizan la regla de la cadena a derivadas de orden superior. Algunas de ellas son:

\frac{df}{dx} = \frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}

\frac{d^2 f}{d x^2} = \frac{d^2 f}{d g^2}\left(\frac{dg}{dx}\right)^2 + \frac{df}{dg}\frac{d^2 g}{dx^2}

\frac{d^3 f}{d x^3} = \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^3 + 3 \frac{d^2 f}{d g^2} \frac{dg}{dx} \frac{d^2 g}{d x^2} + \frac{df}{dg} \frac{d^3 g}{d x^3}

\frac{d^4 f}{d x^4} =\frac{d^4 f}{dg^4} \left(\frac{dg}{dx}\right)^4 + 6 \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^2 \frac{d^2 g}{d x^2} + \frac{d^2 f}{d g^2} \left\{ 4 \frac{dg}{dx} \frac{d^3 g}{dx^3} + 3\left(\frac{d^2 g}{dx^2}\right)^2\right\} + \frac{df}{dg}\frac{d^4 g}{dx^4}

4.6 Formulas de derivación y formulas de diferenciación.

Para funciones más simples, el trabajo de calcular la derivada de una función se puede realizar simplemente usando la definición de derivada. Pero si se da una función compleja, ahora es que vale la pena utilizar la definición de la derivada para el cálculo de las derivadas de la función, dado que si no lo hacemos requeriría muchos cálculos. Con el fin de reducir los cálculos involucrados en el proceso se han introducido una serie de fórmulas de diferenciación.

Junto con las fórmulas se han introducido una serie de propiedades que pueden ser usadas directamente. Algunas fórmulas de diferenciación importantes son,

1 Fórmula de Diferenciación General

, en esta fórmula, c es un valor constante.

, esta es la regla de la potencia de la diferenciación. En esta fórmula, n debe ser exclusivamente un número real.

, lo que significa que cuando un número es diferenciado con respecto a sí mismo producirá uno como resultado.

2 Fórmulas de Diferenciación; Funciones Logarítmicas

, lo que significa que la diferenciación del logaritmo natural de un número con el mismo número producirá la inversa del número como resultado.

, esta ecuación explica que la diferenciación de un logaritmo natural de la función con respecto a la variable de entrada producirá el inverso de la multiplicación de la función con la derivada de la función como salida.

, esta ecuación explica que la diferenciación del logaritmo de una variable con respecto a su variable de entrada dará el inverso de la multiplicación del número con el logaritmo natural del número.

3 Fórmulas de Diferenciación; Funciones Exponenciales

, esta fórmula de diferenciación es interesante dado que establece; la diferenciación del exponente de una variable producirá el exponente de la variable como salida.

, esta regla establece que la diferenciación del exponente de una función producirá la multiplicación del exponente de la función con la derivada de la función como salida.

, esta regla establece que la diferenciación de una constante elevada a la potencia de una variable producirá la multiplicación de la constante elevada a la potencia de la misma variable con el logaritmo natural de la constante.

4 Fórmulas de Diferenciación; Funciones Exponenciales

Las fórmulas mostradas anteriormente se explican por sí mismas y no necesitan ninguna otra explicación.

Todas estas fórmulas de diferenciación también derivan de la definición básica de diferenciación para facilitar el trabajo y reducir la parte de cálculo. Para tener una mejor comprensión del tema, observe el ejemplo que se ilustra a continuación,

Probar que d(arctan x)/ dx = 1/ (1 + x2) es verdadera.

En la ecuación anterior y = arctan x. esto implica que y = tan x. Ahora sustituyendo en la ecuación dada.

d (tan y)/ dx = (1/ cos2x) dy/ dx

(1/ cos2x) dy/ dx = 1

dy/ dx = cos2 x

dy/dx = 1/ (1 + x2)

Vamos ahora a despejar la regla lineal de la diferenciación de la fórmula de diferenciación,

 (f(x) + g(x))’ = limh0 (f(x + h) + g(x + h) – (f(x) + g(x)))/ h

        = limh0 (f(x + h) – f(x) + g(x + h) – g(x))/ h

        = limh0 (f(x + h) – f(x))/ h + limh0 (g(x + h) – g(x))/ h

        = f’(x) + g’(x)

De una manera similar todas las fórmulas diferenciales se pueden despejar de la fórmula básica para la diferenciación.

4.7 Derivadas de orden superior, regla de L´Hopital

La derivada de cualquier función determina la tasa de variación en función de la función con respecto a la entrada de la función. Este proceso de encontrar la derivada de una función se puede aplicar en una cascada muchas veces para encontrar las derivadas de orden superior de la función. Por ejemplo, al diferenciar la derivada de primer orden de la función, uno obtendrá la derivada de segundo orden de la función y a través de la diferenciación de la derivada de segundo orden de la función obtendremos la derivada de tercer orden de la función y así sucesivamente. En términos simples diferenciar la derivada de una función dará lugar a una derivada de la función de orden superior por un grado. La derivada de primer orden de la función se representa como,

La derivada de segundo orden de una función se representa como,

La derivada de tercer orden de una función se representa como,

Y así sucesivamente. La derivada de segundo orden de la función también se conoce como “g doble prima de y”, donde g es la función en términos de y. De manera similar la derivada de tercer orden de una función también se conoce como “g triple prima de y”, etc. Las derivadas de orden superior de cualquier función pueden derivarse de esta forma hasta que la derivada obtenida es diferenciable en sí misma.

La derivada de segundo orden de una función f(x), que es todavía más diferenciable,

No es posible obtener una derivada de orden superior de la función si la derivada actual de la función no es diferenciable. Para aclarar el concepto de las derivadas de orden superior eche un vistazo al ejemplo citado a continuación. f(x) = 4×3 + 9×2 – 3x + 4 La derivada de primer orden de esta función será,

f’(x) = 12×2 +18x – 3

Por la derivada anterior ser diferenciable es posible al diferenciarla nuevamente obtener la derivada de segundo orden de la función como, f’’(x) = f’(f’(x)) = 24x + 18

Al analizar la derivada de la función anterior se puede ver que esta puede ser aún más diferenciada. Por lo tanto la derivada de tercer orden de la función será,

f’’’(x) = f‘(f’(f’(x))) = 24

Ahora la derivada de cuarto orden de la función se obtiene,

f’’’(x) = f’(f‘(f’(f’(x)))) = 0

Como se puede observar ya no es posible diferenciar la función por más tiempo, por lo tanto detenemos el proceso de diferenciación aquí.

El ejemplo anterior también arroja luz sobre un hecho muy interesante, que es, si f(x) es un polinomio con n como el más alto grado entonces la derivada de mayor orden de tal función será n +1. Una diferencia muy interesante y diminuta entre la notación convencional de la potenciación y la diferenciación se explica más adelante,

f(2)(x)= f’’(x) f2(x) = [f(x)]2

Esta es, la presencia de paréntesis en el exponente denota una operación de diferenciación, mientras que su presencia en sí denota la operación de exponenciación.

La regla de L’Hôspital, también llamada regla de Bernoulli es una parte muy importante del cálculo. Se utiliza principalmente para encontrar las salidas de los límites cuando los límites son de forma intermedia; se utiliza principalmente para las derivadas de las funciones.

Esta regla se utiliza para transformar los límites intermedios en una forma determinada y por tanto, obtener la salida más conveniente.

La definición formal de L’Hôspital es, existen dos funciones f(x) y g(x). Ahora bien, si

  , además

es real, entonces de acuerdo a la regla del L’Hôspital,

4.8 Derivadas de funciones implícitas.

Las funciones se pueden clasificar en dos categorías generales, funciones implícitas y funciones explícitas.

Una función se denomina implícita cuando su salida no está definida en términos de su entrada, explícitamente.

Las funciones algebraicas y las funciones inversas corresponden a la categoría de funciones implícitas.

Una función que se define implícitamente puede ser diferenciada con la ayuda de una regla de la cadena, denominada diferenciación implícita.

La mejor forma de diferenciar una función implícita es diferenciando cada lado de la ecuación de la función explícitamente.

Mientras se hace esto, es esencial tener en mente que la variable dependiente de la función debe ser tratada como la variable independiente de la función; y sencillamente aplicar las reglas de diferenciación normal incluyendo todas las propiedades y las reglas de diferenciación.

Finalmente resolver para cada derivada.

Para tener una mejor comprensión, tomemos un vistazo el ejemplo dado a continuación,

Diferenciar la ecuación tal como lo hacemos para una función explícita,

= d(4x – y)/ dx = 0

= 4 – dy/ dx = 0

= dy/ dx = 4

Los pasos para la diferenciación de una función implícita se indican a continuación:

1. Diferencie la ecuación implícita con respecto a x tal como lo hace para una función explícita. Si la ecuación contiene términos de y o cualquier otra variable elevada a la potencia de y, entonces primero multiplique la ecuación con dy / dx.

2. Mueva los términos con dy / dx como sus coeficientes a un lado de la ecuación y el resto de los términos hacia el otro lado de la ecuación.

3. Ahora, extraiga el valor de dy / dx y resolverlo.

El método explicado más arriba es el método de diferenciación implícita para resolver una función implícita.

Hay una forma más de resolver una función implícita, llamada diferenciación directa.

Bajo el método explicado anteriormente, el primer paso es escoger la variable que se considerará como variable dependiente y la variable que se considerará como variable independiente.

Suponga que y es la variable dependiente para la función dada, luego se resuelve para y con respecto a x, que es la variable independiente de la función.

Bajo el método de diferenciación directa, sólo resuelva para la variable dependiente al mover los términos contenidos en la variable dependiente hacia un lado y la variable independiente hacia el otro lado y realizando la diferenciación con respecto a la variable independiente.

Bajo el método de diferenciación directa, generalmente la variable dependiente se da de manera explícita y no de forma escogida.

Considere un ejemplo de una ecuación resuelta mediante el método de diferenciación directa,

4X² + 5X – y + 2 = 0

Moviendo los términos que contiene y hacia un lado de la ecuación, que es la variable dependiente de la ecuación,

4X² + 5X + 2 = y Ahora diferenciando la ecuación obtenemos,

dy / dx = 8x + 5, que es la respuesta necesaria.

La obtención de las derivadas parciales para un sistema de ecuaciones de funciones implícitas también muy fácil.

Para esto, seleccione cualquiera de las variables de la ecuación y vea esta variable como función de las variables restantes en la ecuación.

Sea una función implícita definida en términos de tres variables x,y, z como,

Entonces la derivada parcial de tal ecuación se puede derivar como,

Derivada de funciones implícitas. La derivada de la función implícita

definida mediante la ecuación

puede calcularse: o bien despejando la y , o bien, mediante la siguiente fórmula:

, siempre que

Las derivadas de orden superior de una función implícita se pueden calcular mediante la derivación sucesiva de la fórmula anterior, considerando y como función de x.

Las derivadas parciales de una función implícita de dos variables