Unidad 1 & 2

UNIDAD 1

1.1 Recta Numerica

Es un gráfico unidimensional o línea recta la cual contiene todos los números reales ya sea mediante una correspondencia biunívoca o mediante una aplicación biyectiva, usada para representar los números como puntos especialmente marcados, por ejemplo los números enteros mediante una recta llamada recta graduada entera ordenados y separados con la misma distancia.

        1.2 Numeros reales

Definimos como número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas.

El conjunto de los números reales

Número Naturales (N): números con los que contamos (también se les llama enteros positivos.  )

Enteros (E): conjunto de todos los números naturales con sus opuestos (negativos) y el cero.  .

Racionales: conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en la forma  , donde m y n son enteros  .

Número Reales (R): todos los racionales y los

irracionales. Los números racionales tienen representaciones decimales repetitivas (periódicas), en tanto que los irracionales tienen representaciones no repetitivas infinitas.

1.3.-PROPIEDAD DE LOS NÚMEROS REALES

Propiedad Conmutativa de la Suma:

Establece que el orden en el que dos números reales se suman no afecta a su sumatoria. 

Ejemplo: 3 + 7 = 7 + 3 = 10.

Propiedad Conmutativa de la Multiplicación:

De acuerdo con esta, cuando dos números reales se multiplican en diferentes órdenes, el resultado es siempre el mismo. En términos matemáticos,

Ejemplo: 4 X 3 = 3 X 4 = 12

Propiedad Asociativa de la Suma: Esta propiedad dice que la suma de tres números reales dados, manteniendo su orden, agrupa dos de ellos, y luego se añade el tercer número a la sumatoria del grupo. Matemáticamente,

Ejemplo: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9

Propiedad Asociativa de la Multiplicación: El producto de dos números reales se puede calcular de dos formas: De la primera forma, preservando el orden y multiplicando el número del producto del primer y segundo número al tercer número. La segunda forma de hacerlo es preservando el mismo orden y multiplicando el primer número con el producto del segundo y tercer número. El resultado en ambos casos será el mismo. Para ser específicos,

Ejemplo: (2 X 3) X 4 = 2 X (3 X 4) = 24

Propiedad de Identidad de la Suma: ‘0’es el número neutral, es decir, la identidad para la suma. La suma de cualquier número con 0 dará como resultado el propio número. Expresamente,

Ejemplo: 9 + 0 = 9

Propiedad de Identidad de la Multiplicación: Según esta propiedad de los Números Reales, el producto de cualquier número real con el elemento de identidad ‘1’ es el número real mismo. 

Ejemplo: 6 X 1 = 6

Inverso aditivo: Para cada Número Real, existe su inverso, de tal manera que la suma del número con su inverso dará como resultado 0, 

Ejemplo: 3 + (−3) = 0

Inverso multiplicativo: De acuerdo con este, para todo Número Real distinto de cero, existe otro número real tal que el producto de los dos es 1. Matemáticamente,

Ejemplo: 3 X 1/3 = 1

Ley distributiva: En los Números Reales, la multiplicación se puede distribuir sobre la suma y viceversa.

Ejemplo: 2 X (3 + 5) = (2 X 3) + (2 X 5) = 16

1.4.-INTERVALOS Y SU REPRESENTACIÓN MEDIANTE DESIGUALDADES

En la recta numérica existen inecuaciones de orden que se pueden dar en 3 alternativas:

1. a<b
2. a>b
3. a=b

Una desigualdad es de una forma:
10+3>6
la podemos transformar en inecaucion que es cuando se introduce una incógnita (x):
 10+x>6

Intervalo en los números

la expresión:
n={xE
R|a<x<b}
representa el conjunto del numero e incluye si intervalo.

Tipos de intervalo

• Abierto:

conjunto de números entre a y b, sin incluirlos:

(a,b)

• Cerrado

conjunto de números entre a y b, incluye a ambos:

[a,b]

• Semiabierto por la derecha

intervalo de puntos entre a y b; que incluye a a pero excluye a b:

[a,b)

• Semiabierto por la izquierda

intervalo de puntos entre a y b; que incluye a b pero excluye a a:

(a,b]

1.5 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Y DE DESIGUALDADES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA

Desigualdades de primer grado

Las desigualdades de primer grado (lineales) se pueden resolver de una manera similar a las ecuaciones lineales.

Es decir se puede despejar la incógnita utilizando operaciones idénticas en ambos lados de la desigualdad.

Es necesario tomar en cuenta una diferencia muy importante pues cuando una desigualdad se multiplica por un valor negativo la dirección de la desigualdad se invierte, es decir, de menor cabia a mayor y viceversa.

Solución de desigualdades de primer grado

Las desigualdades de primer grado, más conocidas como desigualdades lineales, son las desigualdades en las que la mayor potencia del pro numeral o variable no es mayor que 1.

Por ejemplo: x + y> 5 se puede llamar desigualdad lineal. Estas desigualdades se pueden emplear para resolver muchos de los problemas matemáticos.

La desigualdad lineal difiere de las ecuaciones lineales por el hecho de que las ecuaciones lineales con una sola variable pueden tener solo una solución que sea verdadera. Sin embargo, en el caso de las desigualdades lineales puede haber varias soluciones para una variable que satisfaga la desigualdad correspondiente.

Por ejemplo: la ecuación lineal 5x = 20 tiene que x = 4 es su única solución, mientras que la desigualdad 5x> 20 puede tener como su solución todos los números mayores a 4.

Reemplazando ‘=’de la ecuación lineal con mayor que ‘>’, menor que‘<’ , mayor o igual que ‘ ’ o menor o igual que el símbolo ‘ ‘, las desigualdades lineales pueden ser obtenidas.

Un sistema de desigualdades lineales consiste en más de una desigualdad que debe ser satisfecha de forma simultánea. Por tanto, una solución del sistema de desigualdades lineales significa una solución que satisfará a todas las desigualdades del sistema, es decir, una solución que es común a todas las desigualdades del sistema. Del mismo modo, el grupo de todas las soluciones de la desigualdad se denomina conjunto de soluciones.

Ejemplos:

1) 3x – 5 ≥ 5x + 15

Sumamos 5 a los dos lados de la desigualdad
3x – 5 + 5 ≥ 5x + 15 + 5
3x ≥ 5x + 20

Restamos 5x en ambos lados
3x – 5x ≥ 5x + 20 – 5x
-2x ≥ 20

Multiplicamos ambos lados por -1/2 *
-1/2(-2x) ≤ -1/2(20)
x ≤ -10

* La dirección de la desigualdad cambia al multiplicar por un número negativo.

El resultado es el intervalo (-∞ , -10]

1.6 Valor absoluto y sus propiedades

Absoluto Y Sus Propiedades

El valor absoluto o numérico de un número es la distancia del mismo con respecto al 0 en la recta numérica.

El valor absoluto de cualquier número es siempre positivo. Este valor puede ser conocido también como el módulo del número.

El valor absoluto de un número x se escribe como | x |, y se lee como “módulo de x”.

Por ejemplo, la posición de 2 y −2 en la recta numérica indica que −2 <2, pero que ambos están a la misma distancia de 0.

Por lo tanto, se dice que −2 y 2 tienen el mismo valor absoluto.

El valor absoluto o numérico de un número es la distancia del mismo con respecto al 0 en la recta numérica.



El valor absoluto de cualquier número es siempre positivo. Este valor puede ser conocido también como el módulo del número.

El valor absoluto de un número x se escribe como | x |, y se lee como “módulo de x”.

Por ejemplo, la posición de 2 y −2 en la recta numérica indica que −2 <2, pero que ambos están a la misma distancia de 0.

Por lo tanto, se dice que −2 y 2 tienen el mismo valor absoluto.

En el caso de los números reales las generalidades del valor absoluto pueden encontrarse en una amplia variedad de ajustes aritméticos.

Por ejemplo, el valor absoluto puede ser descrito por los cuaterniones, números complejos, los campos, anillos ordenados, así como para los espacios vectoriales.

Estos valores están directamente relacionados con los conceptos de distancia, magnitud y norma en la variedad de contextos físicos y matemáticos.

Para cualquier número, si:

  Entonces | x | = x  y  si

x ‹ 0 entonces | x | = -x

Las propiedades fundamentales del valor absoluto son:

No Negatividad: Establece que el valor absoluto de un número nunca puede ser negativo.

Definición Positiva: De acuerdo a esta simple propiedad, si el valor del módulo de un número real x es 0, entonces el valor absoluto de x es 0 y vice-versa.

| x | = 0 x = 0

Propiedad Multiplicativa: Esta significa que el módulo de un producto de dos números es siempre igual al producto de los módulos de ambos números tomados por separado.

| xy| = | x | | y |

Propiedad Aditiva: En concordancia con la propiedad multiplicativa, establece que el módulo del valor de la suma de dos números es siempre igual a la suma por separado del módulo de ambos números.

| x + y| = | x | + | y |

En combinación con estas cuatro propiedades fundamentales, algunas otras de las propiedades más importantes son:

Simetría: Establece que la definición básica del valor absoluto es, en otras palabras, ignorar el signo negativo.

| - x | = x

Identidad de Indiscernibles: Equivalente de la definición positiva, establece que si el módulo de la resta de dos números es 0, entonces los dos números son iguales en su valor.

| x – y | x = y

Desigualdad Triangular: Puede ser expresada en la forma: | x – y | | x – z | + | z - x |.

Preservación de la División: Es el equivalente de la propiedad multiplicativa y establece que el módulo de la división de dos números es siempre igual a la división del módulo de los dos números por separado.

| x / y| = | x | / | y | si y 0

Dos propiedades que pueden ser significativas en algunos casos incluyen:

| x | y -y x 9

| x | y x -y ó y x

Todas las propiedades del valor absoluto pueden ser demostradas de manera idéntica. Para un mejor entendimiento, tomemos un ejemplo de prueba con los siguientes valores:

Demostrar: | 2 – 7 | › | 2 | - | 7 |

Primero, tomando el lado izquierdo | 2 – 7 |

  | - 5 |

  | 5 |

Ahora, resolviendo el lado derecho, tenemos

| 2 | - | 7 |

  2 – 7

  −5

1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto

La solución de desigualdades que implican valor absoluto requiere algunos conceptos básicos. La definición básica “ El valor absoluto de un número es siempre positivo” no tiene ningún uso mientras se resuelven tales desigualdades. Por el contrario, la explicación geométrica del valor absoluto “El valor absoluto de un número es la distancia del mismo con respecto del número 0 en la recta numérica” debe ser considerado. Por ejemplo: Como 5 está a la distancia de 5 unidades del origen, es por eso que el valor absoluto de | 5 | es 5.

De la misma forma, el valor absoluto de −5 es también 5. | −5 | = 5. 

Ejercicios: Resuelve las siguientes desigualdades que incluyan valor absoluto

Resolver: |3x - 2| < 5

Resolver: |x2 - 2x - 3| >=  x + 2

Resolver: |x - 1| < |2x + 1|

Resolver: |x| + |x-1| < 4

Resolver: |x| + |x - 2| < 4

UNIDAD 2

2.1 Concepto de variable, función, dominio, codominio y recorrido de una función.






Concepto de variable



En matemáticas y en lógica, una variable es un símbolo constituyente de un predicado, fórmula, algoritmo o de una proposición. El término «variable» se utiliza aun fuera del ámbito matemático para designar una cantidad susceptible de tomar distintos valores numéricos dentro de un conjunto de números especificados.



Concepto Función

 En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).  En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”. Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.



Concepto Dominio: En su forma más simple el dominio son todos los valores a los que aplicar una función, y el rango son los valores que resultan.





Concepto Codominio: En matemáticas, el codominio o contradominio (también denominado conjunto final, recorrido o conjunto de llegada) de una función 








Recorrido de una función: El recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente,  es decir, todos los valores de la variable dependiente que son imagen de algún valor de la variable independiente

2.2 Función inyectiva, suprayectiva y función biyectiva.



Función inyectiva: Una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto de. Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o mas elementos que tengan la misma imagen.



 




Función Suprayectiva: Una función es suprayectiva, si esta aplicada sobre todo el condominio, es decir, cuando la imagen, o en palabras mas sencillas, cuando cada elemento de Y es la imagen de como mínimo un elemento de X









Función biyectiva: Una función es biyectiva si al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva.



Para ser mas claro se dice que una función es biyectivaa cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función inyectiva. Sumándole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada en este caso Y que es la norma que exige la función suprayectiva.











2.3 Función real de variable y su representación grafica.





Cualquier función cuyo rango de conjunto incluya sólo números reales es llamada una

función valorada real o simplemente una función real.





Especialmente estudiada bajo el cálculo, una función valorada real se centra en las

integrales, las desigualdades en general y sus derivadas.





Función Constante y Gráfico: Una función constante es una función f: X → Y,
    donde X e Y son subconjuntos de R y existe k como un elemento de Y tal que f(x) = k.



 Función Identidad y Gráfico: Una función identidad es una función f: X → Y que tiene la propiedad f(x) = x se mantiene cierta a los
    elementos de X.







 Función Módulo y Gráfico: Una función módulo o una función valorada absoluta es una de la
    siguiente manera, f(x) = x, f(x) = {x >= 0, -x <= 0}



 Función Recíproca y Grafico: Una función recíproca es
    una como la que sigue, f(x) = 1/x, donde x <> 0

































2.4 Funciones algebraicas: función polinomial, racional e irracional.


Función polinomial




En matemáticas, una función polinómica es una función asociada a un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo).

Formalmente, es una función:


donde  es un polinomio definido para todo número real ; es decir, una suma finita de potencias de  multiplicados por coeficientes reales, de la forma:1

Función racional

En matemáticas, una función racional de una variable es una función que puede ser expresada de la forma:

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador. Esta definición puede extenderse a un número finito pero arbitrario de variables, usando polinomios de varias variables.

Función irracional

Una función irracional es una función en cuya expresión analítica la variable independiente x aparece debajo del símbolo de raíz.

En este apartado consideraremos únicamente funciones irracionales del tipo

f(x)=g(x)−−−−√n

Con g(x) una función racional.

2.5 Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones exponenciales

Funciones trigonométricas:

Se asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x.

Función seno

f(x) = sen x

Función coseno

f(x) = cosen x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Función secante

f(x) = sec x

Función cotangente

f(x) = cotg x

2.5 Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones exponenciales

Función exponencial

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

2.6 Función definida por mas de una regla de correspondencia, función valor absoluto

Función a trozos es el nombre de una función que puede ser definida con la ayuda de múltiples funciones de correspondencia.

Una función f(x)=x⟶y es una función llamada función a trozos, si puede ser definida con ayuda de diferentes funciones lineales.

La gráfica de esta función también es definida por trozos, dependiendo el numero de ecuaciones que se utilicen para definir la función.

La función es llama así porque para definir esta función cambia según el valor de la variable de entrada.

La función de valor absoluto se transforma en función a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1.          Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.
2.          Se forman intervalos con el resultado de las raíces
3.          Después definimos la función a trozos, tomando en cuenta que los intervalos en donde la        x es negativa se le cambia el signo de la función.
4. ·        Representamos la función.

2.7 operaciones con funciones: condición,multiplicacion,composicion.

Sean f y g dos funciones de variable real definidas por un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa porf + g.

ejemplo:
Por ejemplo, considere las dos funciones siguientes,
 g(x) = x2 + 2 y,
 f(x) = 4x – 1

Las dos funciones se pueden sumar como (g + f) (x) = (x2 + 2) + (4x – 1) = x2 + 4x + 1

Multiplicación:

Sean f y g dos funciones de variable real definidas por un mismo intervalo. Se llama multiplicación o producto de una función de f y g, y se define por:

[f(x)] [g(x)]

ejemplo:

Tomemos como ejemplo la multiplicación de dos funciones,

 g(x) = 3 √x y

, f(x) = √x 

entonces, (g . f) (x) = (3 √x) . (√x)

Composición:

Dos funciones se juntan para producir un resultado, por ejemplo: f actué sobre 'x' para producir f(x) y luego g actué sobre f(x) o también llamada función composición que se representa g(f(x)).

La composición de dos funciones se denota como:

 ejemplo, 

g(x) = 2x + 3 

f(x) = -x2 + 5

 g(f(x)) = g(-x2 + 5) 

= 2(-x2 + 5) + 3

 = −2×2 + 10 + 3 

= −2×2 + 13

2.8 función inversa logarítmica y trigonométricas inversas.

Función inversa:

Son dos funciones tales que a todo punto de la gráfica 

de la primera función corresponde un punto de la gráfica de la segunda, de tal 

manera que la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del 

punto correspondiente de la otra y viceversa; es decir, a todo punto de la primera 

curva corresponde, en la segunda, otro punto simétrico con respecto a la bisectriz 

del ángulo XOY

Función logarítmica:

Es aquella que está afectada por un logaritmo; como: log10 x Puede decirse también que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial. y=a^x  y y=loga x

Funciones trigonométricas inversas:

En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco,

y= sen x, y es igual al seno de x, la función inversa x= arc sen y,  es el arco

cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

2.9 Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales: las sucesiones infinitas

Funciones con Dominio en los Números Naturales y un Viaje a los Números Reales: Las Secuencias Infinitas

Considere un conjunto N, una función f: X , Y de la secuencia de números de N esta es conocida como función de sucesiones. El dominio de tales funciones se limita sólo a los números naturales. Las convenciones utilizadas para referirse a tales secuencias son,

La notación convenida para denotar una función de este tipo sería,

Una secuencia decreciente infinita es opuesta a la sucesión creciente infinita lo que significa que en el caso de una secuencia decreciente infinita el elemento subsecuente de la secuencia es más pequeño que el elemento que estaba ocurriendo antes que este en la secuencia, esto es un an+1 < an para todos los valores de n.

Mientras que una secuencia infinita monótona puede ser una que esté creciendo o decreciendo.

Otra categoría en la que una secuencia puede ser clasificada está basada en los límites de la secuencia, si estos se encuentran por encima o por debajo. Si existe un número M para el cual an <= M, para todos los valores de n, entonces tal secuencia está limitada por encima. Mientras que si an >= M, para todos los valores de n, entonces tal secuencia está limitada por debajo.

También es posible añadir prefijos al nombre de la secuencia basados en los elementos de la secuencia. Si todos los elementos de la secuencia son números enteros, entonces la llamamos secuencia de números enteros. Mientras que si todos los elementos de la secuencia son polinomios la llamamos una secuencia de polinomios y así sucesivamente.

También existen dos vías de secuencias infinitas o secuencia infinita-bi, la cual es una función del conjunto de todos los enteros en otro conjunto.

Supongamos una función f: {1, 2, 3, 4…} {1, 2, 3, 4…} define una secuencia A donde cada ai = f(i). Tal secuencia se denominaría multiplicativa cuando,

f(xy) = f(x) f(y), para todos los valores de x e y, donde x e y son co-primos.

Una serie es la sumatoria de la suma de todos los elementos de una secuencia. La suma de todos los elementos de una secuencia infinita se denomina serie infinita.

2.10 Función implícita

Una función y (x) se llama implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual.

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de  entre las variables x e y:  

Diferenciación

Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez esta en función de la variable independiente:

Dada una función F(X,Y), implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: dy/dx=f´(X)

Si consideramos Y = F(x) es una función en términos de la variable independiente x y  G(y) es una función en términos de la variable dependiente y, dado que Y= f(x) , entonces para obtener la derivada: